Uso de Sympy para la asignatura de cálculo
Este tutorial es para usuarios que tengan instalado el módulo de Sympy. Si aún no lo ha instalado de click aquí.
Índice
Funciones
En la primera tarea del curso de cálculo diferencial se nos pide que demostremos el resultado de algunas funciones usando el sistema de cómputo algebraico Sympy.
Ejemplo 1.
Dado \( f(x) = x^{3}-10x^{2}+31x-30 \) demuestre que:
\[\begin{aligned} f(0)=-30 \end{aligned}\]El siguiente script de Python nos ayuda a calcular el resultado:
from sympy import *
x = symbols("x")
f = x**3 - 10*x**2 + 31*x -30
print("f(0)=", f.subs(x, 0))
Produce el siguiente resultado:
f(0)= -30
Algunos otros ejemplos:
\[\begin{aligned} f(-1)=-6f(6) \end{aligned}\]from sympy import *
x = symbols("x")
f = x**3 - 10*x**2 + 31*x -30
print("f(-1)=", f.subs(x, -1))
print("-6f(6)=", -6*f.subs(x, 6))
Resultado:
f(-1)= -72
-6f(6)= -72
from sympy import *
x, y, z = symbols("x y z")
f = x**3 - 10*x**2 + 31*x -30
print("f(yz)=", f.subs(x, y*z))
Resultado:
f(yz)= y**3*z**3 - 10*y**2*z**2 + 31*y*z - 30
Algunas veces hay que usar el método expand() para expandir las expresiones matemáticas.
from sympy import *
x = symbols("x")
f = x**3 - 10*x**2 + 31*x -30
print("f(x-2)=", expand(f.subs(x, x-2)))
Resultado:
f(x-2)= x**3 - 16*x**2 + 83*x - 140
Ejemplo 2.
Dado \( f(x)=x^{3}-3x+2 \) obtener:
\[\begin{aligned} f\left(-\frac{1}{2}\right) \end{aligned}\]De manera opuesta a los números decimales, para el manejo de fracciones se utiliza la clase Rational, como se muestra en el siguiente script:
from sympy import *
x = symbols("x")
f = x**3 - 3*x + 2
print("f(-1/2)=", f.subs(x, Rational(-1,2)))
Resultado:
f(-1/2)= 27/8
Ejemplo 3.
Si \( f(x)=x^{3}-10x^{2}+31x-30 \) y \( \phi(x)=x^{4}-55x^{2}-210x-216 \) demuestre que:
\[\begin{aligned} f(0)+\phi(0)+246=0 \end{aligned}\]from sympy import *
x = symbols("x")
f = x**3 - 10*x**2 + 31*x - 30
phi = x**4 - 55*x**2 - 210*x - 216
print(f.subs(x, 0) + phi.subs(x, 0) + 246)
Resultado:
0
Límites
En la segunda tarea del curso de cálculo diferencial se nos pide que demostremos el resultado de algunos límites usando el sistema de cómputo algebraico Sympy.
Ejemplo 4.
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
\[\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{5-2x^{2}}{3x+5x^{2}} = -\frac{2}{5} \end{aligned}\]El siguiente script de Python nos ayuda a calcular el resultado:
from sympy import *
x = symbols("x")
f = (5 - 2*x**2)/(3*x+5*x**2)
lim = limit(f, x, oo)
print("El límite de la función que tiende a oo es {}".format(lim))
Produce el siguiente resultado:
El límite de la función que tiende a oo es -2/5
Ejemplo 5.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{6x^{3}-5x^{2}+3}{2x^{3}+4x-7} = 3 \end{aligned}\]El siguiente script de Python nos ayuda a calcular el resultado:
from sympy import *
x = symbols("x")
f = (6*x**3 - 5*x**2 + 3)/(2*x**3 + 4*x - 7)
lim = limit(f, x, oo)
print("El límite de la función que tiende a oo es {}".format(lim))
Produce el siguiente resultado:
El límite de la función que tiende a oo es 3
Ejemplo 6.
\[\begin{aligned} \lim_{k\to 0} \frac{\left(2z+3k\right)^{3}-4k^{2}z}{2z\left(2z-k\right)^{2}} = 1 \end{aligned}\]El siguiente script de Python nos ayuda a calcular el resultado:
from sympy import *
z, k = symbols("z, k")
f = ((2*z + 3*k)**3 - 4*z*k**2)/(2*z*(2*z - k)**2)
lim = limit(f, k, 0)
print("El límite de la función que tiende a 0 es {}".format(lim))
Produce el siguiente resultado:
El límite de la función que tiende a 0 es 1
Derivadas
En la tercera tarea del curso de cálculo diferencial se nos pide que demostremos el resultado de algunos límites usando el sistema de cómputo algebraico Sympy.
Ejemplo 7.
Hallar la derivada de las siguientes funciones:
\[\begin{aligned} y=2-3x \end{aligned}\]El siguiente script de Python nos ayuda a calcular el resultado:
from sympy import *
x, y = symbols('x y')
init_printing(use_unicode=True)
print(diff(2-3*x, x))
Produce el siguiente resultado:
-3
Ejemplo 8.
\[\begin{aligned} u=4v^{2}+2v^{3} \end{aligned}\]El siguiente script de Python nos ayuda a calcular el resultado:
from sympy import *
u, v = symbols('u v')
init_printing(use_unicode=True)
print(diff(4*v**2 + 2*v**3, v))
Produce el siguiente resultado:
6*v**2 + 8*v
Ejemplo 9.
\[\begin{aligned} y=\frac{x^{2}}{4-x^{2}} \end{aligned}\]La mayoria de las veces no es visualmente agradable observar el resultado de las ecuaciones en la Terminal, por lo que es mejor en estos casos usar un Jupyter Notebook, para este ejemplo descarguelo aquí.